Системы линейных уравнений, у которой все свободные члены равны нулю, называются однородными :
Любая однородная система всегда совместна, поскольку всегда обладает нулевым (тривиальным ) решением. Возникает вопрос, при каких условиях однородная система будет иметь нетривиальное решение.
Теорема 5.2. Однородная система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы меньше числа ее неизвестных.
Следствие . Квадратная однородная система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель основной матрицы системы не равен нулю.
Пример 5.6. Определить значения параметра l, при которых система имеет нетривиальные решения, и найти эти решения:
Решение . Эта система будет иметь нетривиальное решение тогда, когда определитель основной матрицы равен нулю:
Таким образом, система нетривиальна, когда l=3 или l=2. При l=3 ранг основной матрицы системы равен 1. Тогда оставляя только одно уравнение и полагая, что y =a и z =b , получим x=b-a , т.е.
При l=2 ранг основной матрицы системы равен 2. Тогда, выбирая в качестве базисного минор:
получим упрощенную систему
Отсюда находим, что x=z /4, y=z /2. Полагая z =4a , получим
Множество всех решений однородной системы обладает весьма важным линейным свойством : если столбцы X 1 и X 2 - решения однородной системы AX = 0 , то всякая их линейная комбинация aX 1 + bX 2 также будет решением этой системы . Действительно, поскольку AX 1 = 0 и AX 2 = 0 , то A (aX 1 + bX 2) = aAX 1 + bAX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Именно вследствие этого свойства, если линейная система имеет более одного решения, то этих решений будет бесконечно много.
Линейно независимые столбцы E 1 , E 2 , E k , являющиеся решениями однородной системы, называется фундаментальной системой решений однородной системы линейных уравнений, если общее решение этой системы можно записать в виде линейной комбинации этих столбцов:
Если однородная система имеет n переменных, а ранг основной матрицы системы равен r , то k = n-r .
Пример 5.7. Найти фундаментальную систему решений следующей системы линейных уравнений:
Решение . Найдем ранг основной матрицы системы:
Таким образом, множество решений данной системы уравнений образует линейное подпространство размерности n - r = 5 - 2 = 3. Выберем в качестве базисного минор
Тогда оставляя только базисные уравнения (остальные будут линейной комбинацией этих уравнений) и базисные переменные (осталь-ные, так называемые свободные, переменные переносим вправо), по-лучим упрощенную систему уравнений:
Полагая, x 3 = a , x 4 = b , x 5 = c , находим
Полагая a = 1, b = c = 0, получим первое базисное решение; полагая b = 1, a = c = 0, получим второе базисное решение; полагая c = 1, a = b = 0, получим третье базисное решение. В результате, нормальная фундаментальная система решений примет вид
С использованием фундаментальной системы общее решение однородной системы можно записать в виде
X = aE 1 + bE 2 + cE 3 . à
Отметим некоторые свойства решений неоднородной системы линейных уравнений AX=B и их взаимосвязь соответствующей однородной системой уравнений AX = 0.
Общее решение неоднородной системы
равно сумме общего решения соответствующей однородной системы AX = 0 и произвольного частного решения неоднородной системы
. Действительно, пусть Y
0 произвольное частное решение неоднородной системы, т.е. AY
0 = B
, и Y
- общее решение неоднородной системы, т.е. AY = B
. Вычитая одно равенство из другого, получим
A
(Y-Y
0) = 0, т.е. Y - Y
0 есть общее решение соответствующей однородной системы AX
=0. Следовательно, Y - Y
0 = X
, или Y = Y
0 + X
. Что и требовалось доказать.
Пусть неоднородная система имеет вид AX = B 1 + B 2 . Тогда общее решение такой системы можно записать в виде X = X 1 + X 2 , где AX 1 = B 1 и AX 2 = B 2 . Это свойство выражает универсальное свойство вообще любых линейных систем (алгебраических, дифференциальных, функциональных и т.д.). В физике это свойство называется принципом суперпозиции , в электро- и радиотехнике - принципом наложения . Например, в теории линейных электрических цепей ток в любом контуре может быть получен как алгебраическая сумма токов, вызываемых каждым источником энергии в отдельности.
Однородные системы линейных алгебраических уравнений
В рамках уроков метод Гаусса
и Несовместные системы/системы с общим решением
мы рассматривали неоднородные системы линейных уравнений
, где свободный член
(который обычно находится справа) хотя бы одного
из уравнений был отличен от нуля.
И сейчас, после хорошей разминки с рангом матрицы
, мы продолжим шлифовать техникуэлементарных преобразований
на однородной системе линейных уравнений
.
По первым абзацам материал может показаться скучным и заурядным, однако данное впечатление обманчиво. Помимо дальнейшей отработки технических приёмов будет много новой информации, поэтому, пожалуйста, постарайтесь не пренебрегать примерами данной статьи.
Что такое однородная система линейных уравнений?
Ответ напрашивается сам собой. Система линейных уравнений является однородной, если свободный член каждого
уравнения системы равен нулю. Например:
Совершенно ясно, что однородная система всегда совместна
, то есть всегда имеет решение. И, прежде всего, в глаза бросается так называемое тривиальное
решение 
. Тривиальное, для тех, кто совсем не понял смысл прилагательного, значит, беспонтовое. Не академично, конечно, но зато доходчиво =) …Чего ходить вокруг да около, давайте выясним, нет ли у данной системы каких-нибудь других решений:
Пример 1
Решение
: чтобы решить однородную систему необходимо записать матрицу системы
и с помощью элементарных преобразований привести её к ступенчатому виду. Обратите внимание, что здесь отпадает необходимость записывать вертикальную черту и нулевой столбец свободных членов – ведь что ни делай с нулями, они так и останутся нулями:
(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3.
(2) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.
Делить третью строку на 3 не имеет особого смысла.
В результате элементарных преобразований получена эквивалентная однородная система 
, и, применяя обратный ход метода Гаусса, легко убедиться, что решение единственно.
Ответ
:
Сформулируем очевидный критерий : однородная система линейных уравнений имееттолько тривиальное решение , если ранг матрицы системы (в данном случае 3) равен количеству переменных (в данном случае – 3 шт.).
Разогреваемся и настраиваем свой радиоприёмник на волну элементарных преобразований:
Пример 2
Решить однородную систему линейных уравнений
Из статьи Как найти ранг матрицы? вспоминаем рациональный приём попутного уменьшения чисел матрицы. В противном случае вам придётся разделывать крупную, а частенько и кусачую рыбу. Примерный образец оформления задания в конце урока.
Нули – это хорошо и удобно, однако на практике гораздо более распространен случай, когда строки матрицы системы линейно зависимы . И тогда неизбежно появление общего решения:
Пример 3
Решить однородную систему линейных уравнений
Решение
: запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду. Первое действие направлено не только на получение единичного значения, но и на уменьшение чисел в первом столбце:
(1) К первой строке прибавили третью строку, умноженную на –1. Ко второй строке прибавили третью строку, умноженную на –2. Слева вверху я получил единицу с «минусом», что зачастую намного удобнее для дальнейших преобразований.
(2) Первые две строки одинаковы, одну из них удалили. Честное слово, не подгонял решение – так получилось. Если выполнять преобразования шаблонно, то линейная зависимость строк обнаружилась бы чуть позже.
(3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 3.
(4) У первой строки сменили знак.
В результате элементарных преобразований получена эквивалентная система:
Алгоритм работает точно так же, как и для неоднородных систем . Переменные , «сидящие на ступеньках» – главные, переменная , которой не досталось «ступеньки» – свободная.
Выразим базисные переменные через свободную переменную:
Ответ
: общее решение: 
Тривиальное решение входит в общую формулу, и записывать его отдельно излишне.
Проверка выполняется тоже по обычной схеме: полученное общее решение необходимо подставить в левую часть каждого уравнения системы и получить законный ноль при всех подстановках.
На этом можно было бы тихо-мирно закончить, но решение однородной системы уравнений часто требуется представить в векторной форме с помощьюфундаментальной системы решений . Пожалуйста, временно забудьте обаналитической геометрии , поскольку сейчас речь пойдёт о векторах в общем алгебраическом смысле, который я немного приоткрыл в статье про ранг матрицы . Терминологии тушеваться не нужно, всё довольно просто.
Система m линейных уравнений c n неизвестными называется системой линейных однородных уравнений, если все свободные члены равны нулю. Такая система имеет вид:
где а ij (i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n ) - заданные числа; х i – неизвестные.
Система линейных однородных уравнений всегда совместна, так как r (А) = r (). Она всегда имеет, по крайней мере, нулевое (тривиальное ) решение (0; 0; …; 0).
Рассмотрим при каких условиях однородные системы имеют ненулевые решения.
Теорема 1. Система линейных однородных уравнений имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы r меньше числа неизвестных n , т.е. r < n .
□
1). Пусть система линейных однородных уравнений имеет ненулевое решение. Так как ранг не может превосходить размера матрицы, то, очевидно, r
≤ n
. Пусть r
= n
. Тогда один из миноров размера n n
отличен от нуля. Поэтому соответствующая система линейных уравнений имеет единственное решение: 
, , . Значит, других, кроме тривиальных, решений нет. Итак, если есть нетривиальное решение, то r
< n
.
2). Пусть r < n . Тогда однородная система, будучи совместной, является неопределённой. Значит, она имеет бесконечное множество решений, т.е. имеет и ненулевые решения. ■
Рассмотрим однородную систему n линейных уравнений c n неизвестными:
(2)
Теорема 2. Однородная система n линейных уравнений c n неизвестными (2) имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда её определитель равен нулю: = 0.
□ Если система (2) имеет ненулевое решение, то = 0. Ибо при система имеет только единственное нулевое решение. Если же = 0, то ранг r основной матрицы системы меньше числа неизвестных, т.е. r < n . И, значит, система имеет бесконечное множество решений, т.е. имеет и ненулевые решения. ■
Обозначим решение системы (1) х
1 = k
1 , х
2 = k
2 , …, х n
= k n
в виде строки 
.
Решения системы линейных однородных уравнений обладают следующими свойствами:
1.
Если строка - решение системы (1), то и строка - решение системы (1).
2.
Если строки 
и - решения системы (1), то при любых значениях с
1 и с
2 их линейная комбинация - тоже решение системы (1).
Проверить справедливость указанных свойств можно непосредственной подстановкой их в уравнения системы.
Из сформулированных свойств следует, что всякая линейная комбинация решений системы линейных однородных уравнений также является решением этой системы.
Система линейно независимых решений е 1 , е 2 , …, е р называется фундаментальной , если каждое решение системы (1) является линейной комбинацией этих решений е 1 , е 2 , …, е р .
Теорема 3. Если ранг r матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнений (1) меньше числа переменных n , то всякая фундаментальная система решений системы (1) состоит из n – r решений.
Поэтому общее решение системы линейных однородных уравнений (1) имеет вид:
где е 1 , е 2 , …, е р – любая фундаментальная система решений системы (9), с 1 , с 2 , …, с р – произвольные числа, р = n – r .
Теорема 4. Общее решение системы m линейных уравнений c n неизвестными равно сумме общего решения соответствующей ей системы линейных однородных уравнений (1) и произвольного частного решения этой системы (1).
Пример. Решите систему
Решение. Для данной системы m = n = 3. Определитель
по теореме 2 система имеет только тривиальное решение: x = y = z = 0.
Пример. 1) Найдите общее и частные решения системы
2) Найдите фундаментальную систему решений.
Решение. 1) Для данной системы m = n = 3. Определитель
по теореме 2 система имеет ненулевые решения.
Так как в системе только одно независимое уравнение
x + y – 4z = 0,
то из него выразим x =4z - y . Откуда получим бесконечное множество решений: (4z - y , y , z ) – это и есть общее решение системы.
При z = 1, y = -1, получим одно частное решение: (5, -1, 1). Положив z = 3, y = 2, получим второе частное решение: (10, 2, 3) и т.д.
2) В общем решении (4z - y , y , z ) переменные y и z являются свободными, а переменная х – зависимая от них. Для того, чтобы найти фундаментальную систему решений, придадим свободным переменным значения: сначала y = 1, z = 0, затем y = 0, z = 1. Получим частные решения (-1, 1, 0), (4, 0, 1), которые и образуют фундаментальную систему решений.
Иллюстрации :
Рис. 1 Классификация систем линейных уравнений
Рис. 2 Исследование систем линейных уравнений
Презентации:
· Решение СЛАУ_матричный метод
· Решение СЛАУ_метод Крамера
· Решение СЛАУ_метод Гаусса
· Пакеты решения математических задач Mathematica, MathCad : поиск аналитического и числового решения систем линейных уравнений
Контрольные вопросы :
1. Дайте определение линейного уравнения
2. Какой вид имеет система m линейных уравнений с n неизвестными?
3. Что называется решением систем линейных уравнений?
4. Какие системы называются равносильными?
5. Какая система называется несовместной?
6. Какая система называется совместной?
7. Какая система называется определенной?
8. Какая система называется неопределенной
9. Перечислите элементарные преобразования систем линейных уравнений
10. Перечислите элементарные преобразования матриц
11. Сформулируйте теорему о применении элементарных преобразований к системе линейных уравнений
12. Какие системы можно решать матричным методом?
13. Какие системы можно решать методом Крамера?
14. Какие системы можно решать методом Гаусса?
15. Перечислите 3 возможных случая, возникающих при решении систем линейных уравнений методом Гаусса
16. Опишите матричный метод решения систем линейных уравнений
17. Опишите метод Крамера решения систем линейных уравнений
18. Опишите метод Гаусса решения систем линейных уравнений
19. Какие системы можно решать с применением обратной матрицы?
20. Перечислите 3 возможных случая, возникающих при решении систем линейных уравнений методом Крамера
Литература :
1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н.Фридман. Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2005. – 471 с.
2. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник. / Под ред. В.И. Ермакова. –М.: ИНФРА-М, 2006. – 655 с.
3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред.В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2006. – 574 с.
4. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и магматической статистике. - М.: Высшая школа, 2005. – 400 с.
5. Гмурман. В.Е Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2005.
6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1, 2. – М.: Оникс 21 век: Мир и образование, 2005. – 304 с. Ч. 1; – 416 с. Ч. 2.
7. Математика в экономике: Учебник: В 2-х ч. / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандара. – М.: Финансы и статистика, 2006.
8. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для студ. вузов – М.: Высшая школа, 2007. – 479 с.
Похожая информация.
Метод Гаусса имеет ряд недостатков: нельзя узнать, совместна система или нет, пока не будут проведены все преобразования, необходимые в методе Гаусса; метод Гаусса не пригоден для систем с буквенными коэффициентами.
Рассмотрим другие методы решения систем линейных уравнений. Эти методы используют понятие ранга матрицы и сводят решение любой совместной системы к решению системы, к которой применимо правило Крамера.
Пример 1. Найти общее решение следующей системы линейных уравнений с помощью фундаментальной системы решений приведенной однородной системы и частного решения неоднородной системы.
1. Составляем матрицу A и расширенную матрицу системы (1)
2. Исследуем систему (1) на совместность. Для этого находим ранги матриц A и https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Если окажется, что , то система (1) несовместна. Если же получим, что , то эта система совместна и мы ее будем решать. (Исследование на совместность основано на теореме Кронекера-Капелли).
a. Находим rA .
Чтобы найти rA , будем рассматривать последовательно отличные от нуля миноры первого, второго и т. д. порядков матрицы A и окаймляющие их миноры.
М1 =1≠0 (1 берем из левого верхнего угла матрицы А ).
Окаймляем М1
второй строкой и вторым столбцом этой матрицы. 
. Продолжаем окаймлять М1
второй строкой и третьим столбцом..gif" width="37" height="20 src=">. Теперь окаймляем отличный от нуля минор М2′
второго порядка.
Имеем: 
(т. к. два первых столбца одинаковые)
(т. к. вторая и третья строки пропорциональны).
Мы видим, что rA=2 , а - базисный минор матрицы A .
b. Находим .
Достаточно базисный минор М2′ матрицы A окаймить столбцом свободных членов и всеми строками (у нас только последней строкой).
. Отсюда следует, что и М3′′
остается базисным минором матрицы https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75">(2)
Так как М2′ - базисный минор матрицы A системы (2) , то эта система эквивалентна системе (3) , состоящей из первых двух уравнений системы (2) (ибо М2′ находится в первых двух строках матрицы A).
(3)
Так как базисный минор https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51">(4)
В этой системе два свободных неизвестных (x2 и x4 ). Поэтому ФСР системы (4) состоит из двух решений. Чтобы их найти, придадим свободным неизвестным в (4) сначала значения x2=1 , x4=0 , а затем – x2=0 , x4=1 .
При x2=1 , x4=0 получим:
.
Эта система уже имеет единственное решение (его можно найти по правилу Крамера или любым другим способом). Вычитая из второго уравнения первое, получим:
Ее решением будет x1= -1 , x3=0 . Учитывая значения x2 и x4 , которые мы придали, получаем первое фундаментальное решение системы (2) : .
Теперь полагаем в (4) x2=0 , x4=1 . Получим:
.
Решаем эту систему по теореме Крамера:
.
Получаем второе фундаментальное решение системы (2) : .
Решения β1 , β2 и составляют ФСР системы (2) . Тогда ее общим решением будет
γ= С1β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)
Здесь С1 , С2 – произвольные постоянные.
4. Найдем одно частное решение неоднородной системы (1) . Как и в пункте 3 , вместо системы (1) рассмотрим эквивалентную ей систему (5) , состоящую из первых двух уравнений системы (1) .
(5)
Перенесем в правые части свободные неизвестные x2 и x4 .
(6)
Придадим свободным неизвестным x2 и x4 произвольные значения, например, x2=2 , x4=1 и подставим их в (6) . Получим систему
Эта система имеет единственное решение (т. к. ее определитель М2′0 ). Решая ее (по теореме Крамера или методом Гаусса), получим x1=3 , x3=3 . Учитывая значения свободных неизвестных x2 и x4 , получим частное решение неоднородной системы (1) α1=(3,2,3,1).
5. Теперь осталось записать общее решение α неоднородной системы (1) : оно равно сумме частного решения этой системы и общего решения ее приведенной однородной системы (2) :
α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).
Это значит: 
(7)
6. Проверка. Чтобы проверить, правильно ли вы решили систему (1) , надо общее решение (7) подставить в (1) . Если каждое уравнение обратится в тождество (С1 и С2 должны уничтожиться), то решение найдено верно.
Мы подставим (7) для примера только в последнее уравнение системы (1) (x 1 + x 2 + x 3 ‑9 x 4 =‑1) .
Получим: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1
(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1
Откуда –1=–1. Получили тождество. Так поступаем со всеми остальными уравнениями системы (1) .
Замечание. Проверка обычно довольно громоздкая. Можно рекомендовать следующую «частичную проверку»: в общем решении системы (1) произвольным постоянным придать некоторые значения и подставить полученное частное решение только в отброшенные уравнения (т. е. в те уравнения из (1) , которые не вошли в (5) ). Если получите тождества, то, скорее всего , решение системы (1) найдено правильно (но полной гарантии правильности такая проверка не дает!). Например, если в (7) положить С2= - 1 , С1=1 , то получим: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Подставляя в последнее уравнение системы (1), имеем: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , т. е. –1=–1. Получили тождество.
Пример 2. Найти общее решение системы линейных уравнений (1) , выразив основные неизвестные через свободные.
Решение. Как и в примере 1 , составляем матрицы A и https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> этих матриц. Оставляем теперь только те уравнения системы (1) , коэффициенты из которых входят в этот базисный минор (т. е. у нас – первые два уравнения) и рассматриваем состоящую из них систему, эквивалентную системе (1).
Перенесем в правые части этих уравнений свободные неизвестные.
Систему (9) решаем методом Гаусса, считая правые части свободными членами.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">
Вариант 2.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">
Вариант 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">
Вариант 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">
Вариант 6.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">
Линейная система называется однородной , если все ее свободные члены равны 0.
В матричном виде однородная система
записывается:
.
Однородная система (2) всегда совместна
.
Очевидно, что набор чисел
,
,
…,
удовлетворяет каждому уравнению
системы. Решение
называетсянулевым
илитривиальным
решением. Таким образом, однородная
система всегда имеет нулевое решение.
При каких условиях однородная система (2) будет иметь ненулевые (нетривиальные) решения?
Теорема 1.3
Однородная система
(2)имеет ненулевые решения
тогда
и только тогда, когда рангr
ее основной матрицы
меньше числа неизвестныхn
.
Система (2) – неопределенная
.
Следствие 1.
Если число уравненийm
однородной
системы меньше числа переменных
,
то система является неопределенной и
имеет множество ненулевых решений.
Следствие 2.
Квадратная однородная
система
имеет ненулевые решения тогда и тогда,
когда основная матрица этой системы
вырождена, т.е. определитель
.
В противном случае, если определитель
,
квадратная однородная система имеетединственное
нулевое решение
.
Пусть ранг системы (2)
т. е система (2) имеет нетривиальные
решения.
Пусть
и
- частные решения этой системы, т.е.
и
.
Свойства решений однородной системы
Действительно, .
Действительно, .
Объединяя, свойства 1) и 2), можно
сказать, что если
…,
- решения однородной системы (2), то и
всякая их линейная комбинация-
также является ее решением. Здесь
-
произвольные действительные числа.
Можно найти
линейно независимых частных решений
однородной системы (2), с помощью которых
можно получить любое другое частное
решение данной системы, т.е. получить
общее решение системы (2).
Определение 2.2
Совокупность
линейно независимых частных решений
…,
однородной системы (2) таких, что каждое
решение системы (2) можно представить
в виде их линейной комбинации, называетсяфундаментальной системой решений
(ФСР) однородной системы (2).
Пусть
…,
- фундаментальная система решений, тогда
общее решение однородной системы (2)
можно представить в виде:
Где
.
Замечание.
Чтобы получить
ФСР, нужно найти частные решения
…,
,
придавая поочередно какой-либо одной
свободной переменной значение «1», а
всем остальным свободным переменным –
значения «0».
Получим
,,
…,
- ФСР.
Пример. Найти общее решение и фундаментальную систему решений однородной системы уравнений:
Решение.
Запишем расширенную
матрицу системы, предварительно поставив
на первое место последнее уравнение
системы, и приведем ее к ступенчатому
виду. Поскольку правые части уравнений
в результате элементарных преобразований
не меняются, оставаясь нулями, столбец
можно не выписывать.
̴
̴
̴
Ранг системы
где
- число переменных. Система неопределенная,
имеет множество решений.
Базисный минор при переменных
отличен
от нуля:
выбираем
в качестве базисных переменных, остальные
- свободные переменные (принимают любые
действительные значения).
Последней в цепочке матрице соответствует ступенчатая система уравнений:
(3)
Выразим базисные переменные
через свободные переменные
(обратный ход метода Гаусса).
Из последнего уравнения выразим
:
и подставим в первое уравнение. Получим.
Раскроем скобки, приведем подобные и
выразим
:
.
Полагая
,
,
,
где
,
запишем
- общее решение системы.
Найдем фундаментальную систему решений
,
,
.
Тогда общее решение однородной системы можно записать в виде:
Замечание.
ФСР можно было найти
другим путем, без предварительного
отыскания общего решения системы. Для
этого полученную ступенчатую систему
(3) нужно было решить трижды, полагая
для
:
;
для
:
;
для
:
.
