Минимальная работа силы упругости троса. Работа силы тяжести. Консервативные силы. Сила тяжести является консервативной силой

Упругой силой называют силу F =-k r , гдеF - упругая сила,к - коэффициент упругости,r - радиус-вектор, определяющий смещение от положения равновесия.

Элементарная работа упругой силы равна F d r =-k r d r = .

Работа на конечном перемещении из точки 1 в точку 2

.

Обратите внимание на то, что в ходе анализа не учитывалась форма траектории, по которой перемещалась частица под действием упругой силы.

Учтите также, что если начальное и конечное положения совпадают, то работа упругой силы равна нулю.

3.1.2. Работа силы тяжести

Вблизи от поверхности Земли сила тяжести практически одинакова во всех точках и равна m g , гдет - масса тела,g - ускорение свободного падения.

Элементарная работа силы тяжести равна F d r = m g d r . Работу на конечном перемещении из точки 1 в точку 2 можно найти, просто суммируя работы на элементарных перемещениях.

Разобьем траекторию на бесконечно малые прямолинейные участки, часть которых параллельна силе тяжести и ускорению свободного падения, а часть им перпендикулярна.

На участках, перпендикулярных силе тяжести, скалярное произведение g d r будет равно нулю. На параллельных же участках скалярное произведениеg d r будет равно произведению модулей этих векторов:gdh (вместоr использован символh , так как координату в вертикальном направлении обычно называют высотой; произведение положительно, поскольку будем полагать, что тело опускалось и направление элементарных перемещений совпадало с направлением ускорения свободного падения). Сумма всехmgdh между точками1 и2 будет равна работе силы тяжести

A 12 =mg(h 1 -h 2).

Заметьте, что на результат анализа не влияет форма траектории, по которой перемещалось тело.

Учтите также, что если начальное и конечное положения совпадают, то работа силы тяжести равна нулю.

З.1.3. РАБОТА СИЛЫ ТРЕНИЯ

Пусть некоторое тело перемещается вдоль прямой из точки 1 в точку 2, а затем обратно в точку 1.

Пусть сила трения скольжения, действующая на тело, во всех точках оди­накова. В этом случае работа на конечном перемещении A =F r .

Сила трения всегда направлена против направления движения, следовательно, угол между силой трения и вектором перемещения равен 180. Поэтому работа как при перемещении из точки 1 в точку 2, так при перемещении из точки 2 в точку 1, будет отрицательна:A 12 =-F r ,A 21 =-F r .

Величина r на участках 12 и 21 одинакова. Следовательно, полная работаА 121 =А 12 +А 21 =-2F r 0.

3.2. Консервативные силы

Работа силы по перемещению частицы из точки 1 в точку 2 зависит, в общем случае, от формы траектории между точками 1 и 2. Но существуют и такие силы, рабо­та которых не зависит от формы траектории, а определя­ется только положением начальной и конечной точки. В разд. 3.1 было показано, что такое свойство присуще силе тяжести и упругой силе. Такие силы называютсяконсервативными.

Определение консервативной силы можно сформулировать и иначе: сила является консервативной, если её работа на замкнутой траектории равна нулю

.

Консервативны не только сила тяжести и упругая сила. Установлено, что консервативными являются все силы, которые обратно пропорциональны квадрату расстояния между взаимодействующими телами.

Если работа силы на замкнутой траектории не равна нулю, то сила является неконсервативной. В разд. 3.1.3 было показано, что сила трения на замкнутой траектории не равна нулю, следовательно, сила трения неконсервативна.

Консервативные силы возникают при взаимодействии тел как соприкасающихся, так и находящихся на расстоянии друг от друга. Например, брошенный камень не соприкасается с поверхностью Земли, но сила тяжести на него действует.

Взаимодействие несоприкасающихся тел объясняют тем, что каждое тело создаёт вокруг себя поле, с которым взаимодействуют все остальные тела.

Если силы, действующие на тела, находящиеся в поле, консервативны, то поле называют консервативным полем.

Если поле не изменяется с течением времени, его называют стационарным консервативным полем.

В повседневной жизни часто приходится встречаться с таким понятием как работа. Что это слово означает в физике и как определить работу силы упругости? Ответы на эти вопросы вы узнаете в статье.

Механическая работа

Работа - это скалярная алгебраическая величина, которая характеризует связь между силой и перемещением. При совпадении направления этих двух переменных она вычисляется по следующей формуле:

• F - модуль вектора силы, которая совершает работу;
• S - модуль вектора перемещения.

Не всегда сила, которая действует на тело, совершает работу. Например, работа силы тяжести равна нулю, если ее направление перпендикулярно перемещению тела.

Если вектор силы образует отличный от нуля угол с вектором перемещения, то для определения работы следует воспользоваться другой формулой:

A=FScosα

α - угол между векторами силы и перемещения.

Значит, механическая работа - это произведение проекции силы на направление перемещения и модуля перемещения, или произведение проекции перемещения на направление силы и модуля этой силы.

Знак механической работы

В зависимости от направления силы относительно перемещения тела работа A может быть:

• положительной (0°≤ α<90°);
• отрицательной (90°<α≤180°);
• равной нулю (α=90°).

Если A>0, то скорость тела увеличивается. Пример - падение яблока с дерева на землю. При A<0 сила препятствует ускорению тела. Например, действие силы трения скольжения.

Единица измерения работы в СИ (Международной системе единиц) - Джоуль (1Н*1м=Дж). Джоуль - это работа силы, значение которой равно 1 Ньютону, при перемещении тела на 1 метр в направлении действия силы.

Работа силы упругости

Работу силы можно определить и графическим способом. Для этого вычисляется площадь криволинейной фигуры под графиком F s (x).

Так, по графику зависимости силы упругости от удлинения пружины, можно вывести формулу работы силы упругости.

Она равна:

A=kx 2 /2

• k - жесткость;
• x - абсолютное удлинение.

Что мы узнали?

Механическая работа совершается при действии на тело силы, которая приводит к перемещению тела. В зависимости от угла, который возникает между силой и перемещением, работа может быть равна нулю или иметь отрицательный или положительный знак. На примере силы упругости вы узнали о графическом способе определения работы.

Обратите внимание, что у работы и энергии одинаковые единицы измерения. Это означает, что работа может переходить в энергию. Например, для того, чтобы тело поднять на некоторую высоту, тогда оно будет обладать потенциальной энергией , необходима сила, которая совершит эту работу. Работа силы по поднятию перейдет в потенциальную энергию.

Правило определения работы по графику зависимости F(r): работа численно равна площади фигуры под графиком зависимости силы от перемещения.

Угол между вектором силы и перемещением

1) Верно определяем направление силы, которая выполняет работу; 2) Изображаем вектор перемещения; 3) Переносим вектора в одну точку, получаем искомый угол.

На рисунке на тело действуют сила тяжести (mg), реакция опоры (N), сила трения (Fтр) и сила натяжения веревки F, под воздействием которой тело совершает перемещение r.

Работа силы тяжести

Работа реакции опоры

Работа силы трения

Работа силы натяжения веревки

Работа равнодействующей силы

Работу равнодействующей силы можно найти двумя способами: 1 способ - как сумму работ (с учетом знаков "+" или "-") всех действующих на тело сил, в нашем примере
2 способ - в первую очередь найти равнодействующую силу, затем непосредственно ее работу, см. рисунок

Работа силы упругости

Для нахождения работы, совершенной силой упругости, необходимо учесть, что эта сила изменяется, так как зависит от удлинения пружины. Из закона Гука следует, что при увеличении абсолютного удлинения, сила увеличивается.

Для расчета работы силы упругости при переходе пружины (тела) из недеформированного состояния в деформированное используют формулу

Мощность

Скалярная величина, которая характеризует быстроту выполнения работы (можно провести аналогию с ускорением , которое характеризует быстроту изменения скорости). Определяется по формуле

Коэффициент полезного действия

КПД - это отношение полезной работы, совершенной машиной, ко всей затраченной работе (подведенной энергии) за то же время

Коэффициент полезного действия выражается в процентах. Чем ближе это число к 100%, тем выше производительность машины. Не может быть КПД больше 100, так как невозможно выполнить больше работы, затратив меньше энергии.

КПД наклонной плоскости - это отношение работы силы тяжести, к затраченной работе по перемещению вдоль наклонной плоскости.

Главное запомнить

1) Формулы и единицы измерения;
2) Работу выполняет сила;
3) Уметь определять угол между векторами силы и перемещения

Если работа силы при перемещении тела по замкнутому пути равна нулю, то такие силы называют консервативными или потенциальными . Работа силы трения при перемещении тела по замкнутому пути никогда не равна нулю. Сила трения в отличие от силы тяжести или силы упругости является неконсервативной или непотенциальной .

Есть условия, при которых нельзя использовать формулу
Если сила является переменной, если траектория движения является кривой линией. В этом случае путь разбивается на малые участки, для которых эти условия выполняются, и подсчитать элементарные работы на каждом из этих участков. Полная работа в этом случае равна алгебраической сумме элементарных работ:

Значение работы некоторой силы зависит от выбора системы отсчета.

1. Среднее значение силы упругости равно полусумме начального и конечного ее значений.

2. В чем сходство выражений для работы силы упругости и работы силы тяжести?

2. Работа силы упругости, как и работа силы тяжести, зависит только от начальной и конечной координаты свободного конца, например, пружины (от х 1 до x 2).

3. Чему равна работа силы упругости, если тело, на которое она действует, пройдя какое-то расстояние, вернулось в исходную точку?

3. Так как работа силы упругости не зависит от формы траектории, то ее работа в данном случае равна нулю.

4. Может ли обладать потенциальной энергией тело, находящееся в состоянии равновесия?

4. Может, так как потенциальная энергия тела зависит только от его координат, и не зависит от суммы действующих на него сил.

5. Может ли обладать потенциальной энергией тело, на которое не действуют никакие силы?

5. Нет, так как потенциальная энергия равна работе силы при переходе тела из одного его положения в другое, в котором его координаты считаем нулевыми. Если же на тело не действуют никакие силы, то и потенциальная энергия этого тела отсутствует.

6. Чему равна потенциальная энергия упруго деформированного тела?

6. Потенциальная энергия деформированного тела равна работе силы упругости при переходе тела в состояние, в котором его деформация равна нулю.

Рассмотрим пружину жесткости k , находящуюся первона­чально в нерастянутом (свободном) состоянии, которую растягивают на Dх (рис. 20.5) и вычислим работу силы упругости.

По закону Гука сила уп­ругости пропорциональна деформации пружины: , где |Dх | – величина деформации. Причем, сила упругости направлена противоположно деформации пружины, т.е. .

Построим график , где х – величина деформации (см. pиc. 20.5): это – график линейной функции. Угол между и равен 180°, поэтому работа силы упругости будет отрицательной. Эта работа численно равна площади S треугольника ОАВ , но взятой со знаком минус:

. (22.3)

Читатель . Изменится ли результат, если пружину не растянуть, а сжать на расстояние Dх ?

Задача 20.2. Растяжение пружины (общий случай). Пружину жесткостью k = 200 Н/м растянули сначала на Dl 1 = 20 см, а потом еще на Dl 2 = 5,0 см. Какую работу совершили в первом и втором случае?

k = 200 Н/м Dl 1 = 20 см = 0,20 м Dl 2 =5,0 см = 0,050 м
А 1 = ? А 2 = ?
Рис. 20.6

Решение . В данном случае направление силы совпадает с перемещением, поэтому работа положительная. Построим график зависимости силы F , растягивающей пружину, от величины дефор­мации х (рис. 20.6). Работу на участке Dl 1 можно вычис­лить как площадь DА 0В :

Работу на участке Dl 2 можно вычислить как площадь трапеции АВСD , которая, как известно из геометрии, равна произведению полу­суммы оснований на высоту:

.

По графику находим АВ = F 1 = k Dl 1 ; CD = F 2 = k (Dl 1 + Dl 2); ВС = Dl 2 .

Подставим численные значения:

= ×(2×0,20 м + 0,050 м) ×0,050 м »

Ответ: А 1 » 4,0 Дж; A 2 » 2,3 Дж.

СТОП! Решите самостоятельно: А5, А6, В6, В7, С1.

Задача 20.3 . Груз массы m = 3,0 т поднимается лебедкой с ускорением а = 2,0 м/с 2 . Определить работу, произведенную в первые t = 2,0 с от начала подъема.

3,0×10 3 кг × (9,8 м/с 2 + 2,0 м/с 2)

141600 Дж » 0,14 МДж.

Ответ : » 0,14 МДж.

СТОП! Решите самостоятельно: В8, С2.

Задача 20.4. К лежащему на горизонтальной поверхности брус­ку массы m = 12 кг прикреплена пружина жесткостью k = 300 Н/м. Коэффициент трения между бруском и поверхностью m = 0,40. Вначале пружина не деформирована. Затем, приложив к свободному концу пружины горизонтальную силу , медленно переместили брусок на расстояние s = 0,40 м. Какая работа была при этом совершена силой ? Принять g = 10 м/с 2 .

то брусок будет оставаться на месте, а пру­жина будет растягиваться (рис. 20.8,б ). Следовательно, до момен­та начала движения бруска сила будет совершать работу по растяжению пружины на расстояние Dх .